等加速度直線運動の式を導出しよう!

当サイトの内容は説明を簡単にするために意図的に正確ではない表現を使うことがあります。また、専門家ではないので単純に間違っている可能性もあります。あくまでイメージをつかむ程度に活用してください。

今回は等加速度直線運動!
一定の加速度で加速(または減速)している時の様子を式で表してみましょう!

いつものように速度をv、時間をt、加速度をaとします。

グラフを書くとこう。

時間tに関係なく常に加速度aは一定です。
上のグラフの場合はa=3m/s2で一定です。

加速度[m/s2]に時間[s]をかけると速度[m/s]になりますね。
単位を見れば一目瞭然!

[m/s2]×[s]→[m/s]

v=at

加速度3m/s2で、2秒後の速度は
3×2=6m/s
ということです。

でもちょっと待ってください。
確かに2秒間で6m/s増加するけど、もしかしたら最初からある程度の速度で動いているかもしれません。
最初の速度が3m/sだったら3m/sから6m/s増加して9m/sということです。
最初の速度を足してあげないといけませんね。では最初の速度を初速度v0と置きましょう。

するとこうなりますね。

v= v0 +at

等加速度直線運動でのt秒後の速度vは「初速度 v0 」と「増加した分の速度at」を足せばOKというわけです。

この式は覚えましょう!って先生に言われるかもしれないけど、別に覚えなくてもこのようにちょっと考えれば分かりますね。

では次はこのグラフを見てください。

今度は速度vと時間tのグラフですね。
初速度 v0 は1m/sで加速度aが1m/s2です。
時間とともに速度が増加していきます。
式で表すとv=at+ v0
加速度aが傾きで初速度 v0 が切片の一次関数のグラフですね。

さてさて、速度 v [m/s]に時間t[s]をかけると距離s[m]が求まりますよね。(今回距離はxじゃなくてsにしますね)

s=vt

では2秒後のどのくらいの距離を移動するか求めてみましょう。

2秒後の速度は3m/sですね。
ということは速度×時間だから

3[m/s]×2[s]=6[m]?

おっと残念!これだとずっと3m/sの速度で動いている場合の計算になってしまいます。グラフで表すとこういう状態。

速度が3m/sで2秒後の距離は6m。
実はこれって青い四角形の面積になってるんです。長方形の面積は縦×横ですね。縦が速度で横が時間!

じゃあ刻一刻と速度が変化していく場合はどうすれば距離が求められるでしょうか。

こうやって細かい長方形(速度×時間=距離)をいっぱい作って短い距離をたくさん求めて全部足せばいいんじゃない!?と考えてみると…

この細い長方形の横の長さ(時間)を限りなく小さくしていくと …台形の面積になりますね。それが求めたい距離というわけです。

台形の面積だから単純な縦×横では求められないですね。
でも長方形と三角形に分解すれば求められます。

長方形の部分は1×2=2
三角形の面積は底辺×高さ÷2だから
2×2÷2=2

足すと2+2=4[m]

というわけで0~2秒の間に移動した距離は4mというわけです!

このように、距離sは長方形と三角形の面積を足して求めましょう。

ではどんなグラフでも求められるように公式を作りましょうね。

まず長方形の面積。
縦はグラフの切片。これはつまり初速度 v0 ですね。
横は時間tですね。
つまり長方形の面積は v0 t

次に三角形の面積。
底辺は時間t。
高さは増加した分の速度だから加速度×時間=atで求められますね。
つまり三角形の面積はt×at÷2=(1/2)at2

この2つの面積を足せば距離sになるんだから公式は

s= v0 t+(1/2)at2

この式も覚えましょう!って先生に言われるかもしれないけど、覚えなくても自分で導けましたね!でも面倒だから覚えた方がいいかも?

とはいえ v0 tが長方形で(1/2)at2が三角形だと分かっていれば少しは覚えやすいのではないでしょうか!三角形の面積だから1/2が入ってるわけですね。

さて、これで等加速度直線運動の2つの公式が導けました。

v = v0 +at
②s= v0 t+(1/2)at2

①は変形するとt=( vv0 )/a
これを②に代入しちゃうと

s= v0 ( vv0 )/a+(1/2)a{( vv0 )/a}2
2as=2 v0 ( vv0 )+( vv0 )2
=2 v0 v -2 v0 2+ v 2-2 v0 v + v0 2
= v 2v0 2

というわけで
v 2v0 2=2as

等加速度直線運動の3つの式が出来ました。
v = v0 +at
②s= v0 t+(1/2)at2
v 2v0 2=2as

ただ暗記するんじゃなくてどうやって出来たか分かっていれば忘れちゃっても安心ですね!

それではまた次回~

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