温度の正体を探る!

当サイトの内容は説明を簡単にするために意図的に正確ではない表現を使うことがあります。また、専門家ではないので単純に間違っている可能性もあります。あくまでイメージをつかむ程度に活用してください。

今回は面白いですよ〜
温度の正体に迫ります!
何が温度を決めているのか分かりますか?

熱の量!

そもそも、その「熱」ってなんなんですかって話です。
姿形の見えない「熱」の正体に迫ります。

お化けの正体を見破るぞ〜みたいな感じ?

面白そう〜

まず出てくるのがこの式です。
さてなんでしょう?

PV=nRT

「ツイートのPV数はRT数に比例する」的な式

全然違います…….

理想気体の状態方程式

え!?…正解です

いやなんでそんな「うそでしょ!?」みたいな顔してんの

いや、舞花さんが正解するとは思ってなかったので

物理できないからってバカにしてるな〜〜〜
こう見えて化学ならちょっとできるんだぞ〜〜
ちょっとなら〜〜

すごいですね。
じゃあ次いきましょう。

詩絵莉ちゃん冷たくない?
熱エネルギー足りてなくない?

さてさてさっそく計算していきますよ〜
この状態方程式の圧力Pを別の形で表していきましょう。

今ここに1辺の長さがLの立方体を用意して、その中に理想気体の分子をN個詰め込みます。

中の気体によって立方体の壁に圧力Pがかかりますね。
この圧力は、気体の分子が壁にぶつかることで生じているといえます。
分子の衝突のようすを計算していきましょう。

ここで、この立方体は外界との熱のやりとりは無いと仮定します(断熱容器)。
壁にぶつかった分子は壁にエネルギーを与えず、ぶつかる前と同じ速度で逆向きに跳ね返ります(弾性衝突)。
熱のやりとりは無いので摩擦も無いと仮定します。
また、理想気体は大きさを無視するので分子同士での衝突は考えません。

さてここで、3次元で考えるのは大変なので1次元で考えることにします。
分子はxyzどの軸方向にも自由に動いていますが、x軸方向の運動だけ考えます。
そうすると、分子は2つの壁にバウンドしながら行ったり来たりしていると考えられます。

壁から壁までの距離はLでしたね。
ここで分子の速度はvxとします。
微小時間Δtの間に分子は何回か壁にぶつかります。

さて何回ぶつかるでしょう。

具体的な数値がないから分かんない。

何回ぶつかるか式で表すんですよ。
それが物理です。

ぐぇぇ…

1個の分子に注目して、右側の壁に何回ぶつかるか考えましょう。
今、分子はちょうど右側の壁のところにいるとします。

次に壁にぶつかるのは何秒後でしょう。
速度vxで距離Lを移動して左側の壁にバウンドした後、さらに距離Lを移動して右側の壁にぶつかりますね。
つまり速度vxで2Lの距離を進むのにかかる時間は2L/vxです。
2L/vx秒につき1回右側の壁にぶつかるわけです。

ということはΔt秒で何回ぶつかりますか

え〜と

Δtを2L/vxで割ればいいから…

vxΔt/2L回

ぶつかる回数が分かったので、次は1回ぶつかる時に壁に与える力積を考えてみましょう。

力積ってなんだっけ

ある力で何秒か押した時にその力と時間をかけたものが力積です。
力積はIで表します。

力積はこのように運動量p(=mv)の変化で表すこともできます。

IΔpmv’-mv

今、分子の質量をmとすると、速度vxで壁にぶつかって速度-vx跳ね返ります。
(右向きが正)

跳ね返ったあとの運動量からぶつかる前の運動量を引けば、分子が受けた力積が分かります。

I=(-mvx)-(mvx)=-2mvx

これは分子が受けた力積です。
今考えたいのは壁に与える力積なので、作用反作用の法則により2mvxだと分かります。

Δt秒の間にvxΔt/2L回ぶつかり、1回につき2mvxの力積を壁に与えることが分かりましたね。
この力積の総和を計算すればOKです。

ぶつかった回数分掛ければいいわね

2mvx×vxΔt/2Lだからmvx2Δt/L

これで1個の分子が壁に与える力積の総和が分かりましたね。
力積は力×時間なので、力積を時間で割れば力が分かります。

力積mvx2Δt/Lを時間Δtで割ってmvx2/L

それが1個の分子が平均的に壁に与える力です。

じゃああとはそれを、分子の個数倍すればOKね。

あ、ちょっと注意があります。
今計算したのは適当に選んだ1個の分子についてです。
その速度がvxなんですが、他の分子は違う速度で動いています。
分子の速度はそれぞれバラバラです。
なのでそのまま個数倍するとアウトです。

えぇ〜〜!?めんどくさ!!

なので、N個の分子の速度の平均値を使わないといけないですね。

確かに、平均値を使えば分子の個数倍しても大丈夫だね〜

N個の分子が壁に与える力Fは
F=N×mvx2/L

さてここで、vx2はy成分でもz成分でも同じです。
ということは全成分方向の速度の平均の2乗v2は、3vx2と表すことができます。

v2vx2vy2vz2=3vx2

n個の分子が壁に与える力Fは
F=Nmv2/3L

これでやっと圧力Pが分かりますね。
圧力は力÷面積ですね。

壁の面積SはL2なので圧力Pは

P=F/S=Nmv2/3L÷L2=Nmv2/3L3

さてここで、L3というのは体積Vのことですね。
なので

P=Nmv2/3V
(おさらい:P=圧力,V=体積,N=分子の個数,m=分子の質量,v=分子の速度)

やっと圧力出た〜〜

分子が壁にぶつかる力を使って圧力を表記することができました。

疲れた…長過ぎる…

本題忘れてませんか?
温度の正体に迫るんでしたよね。
あとちょっとです。
理想気体の状態方程式は?

PV=nRT

さっき求めたP=Nmv2/3V

Vを左辺に持ってくると

PV=Nmv2/3

PV=nRTと合体させると

Nmv2/3=nRT

舞花さん、出番ですよ。
化学の問題です。
PV=nRTのnってなんでしたっけ?

モル数

その中に分子の個数の情報入ってますよね

分子の個数をアボガドロ定数NAで割ったのがモル数(物質量)だね

ということは分子の個数は式の両辺から消せますね

Nmv2/3=nRT=NRT/NA
(NAはアボガドロ定数)
よって
mv2/3=RT/NA

スッキリしたね〜

もうちょっとスッキリさせます。
気体定数Rとアボガドロ定数NAは定数なのでまとめちゃいましょう。
R/NAをまとめてkBとおきます。
このkBをボルツマン定数と呼びます。

なんかそれ聞いたことある

ボルツマン定数は定義定数で、温度の単位ケルビン(K)の基準になっていますね。

R/NAをkBとおくと
mv2/3=RT/NA=kBT

両辺に3/2をかけると

$$\frac{1}{2}m\overline{v}^2=\frac{3}{2}k_BT$$

左辺の形、なんかみたことないですか

運動エネルギーだ!
E=mv2/2

右辺の3kB/2は定数。
つまり「3kB/2を比例定数として、分子の平均運動エネルギーは絶対温度に比例する」っていう式です。

$$\overline{E}=\frac{3}{2}k_BT$$

温度が高くなるほど分子の運動が激しくなるってことね

逆に言えば、熱というのは分子の平均運動エネルギー、まさにそのものということです。

あっ!温度の正体!

すごーーい!!

暑いと感じる時、何を感じ取っていたのか。
激しく動く分子や原子の運動を感じ取っていたってことですよ。

ナ、ナンダッテー!?

なんか感動しませんか?
温度の正体を、計算によって見破ることができたわけです。
これが物理の面白さですよ!

おぉーー!!!

難しかったけど、面白かった〜

というわけで今回はここまで〜

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